寒夜雨
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items: 【杂谈】基于德勒兹的中国大学生心理状态分析：焦虑、FOMO与迷茫
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【杂谈】基于德勒兹的中国大学生心理状态分析：焦虑、FOMO与迷茫
type: item
date: 2026-08-20T16:08:00+00:00
description: 写作越来越有AI味了，我觉得是好事。当我写下这个标题的时候，我就知道我写大了。这个标题绝对不是我能驾驭的了的，不过，姑且写写看，权当茶余饭后之小小谈资了。需要提前说明的是，这篇文章并不是一篇心理学意义上的实证分析。我也不打算用德勒兹去解释所有中国大学生的心理问题，更不认为焦虑、迷茫、FOMO 可以完全被德勒兹的框架解释。家庭条件、学校层次、城乡差异、性别、专业、经济状况乃至个人性格，都会造成巨大的区别。如果您觉得文章太长不愿意看，那这里便是一个粗糙的结论：对于当下的中国大学生来说，童年和学校不断把人结域到一条清晰的人生轨道上，但是在进入大学之后，这条轨道突然开始解域。与此同时，国家机器、资本机器和平台又不断试图用新的指标把人重新结域。于是个体长期处在“旧地图不断失效，新地图又不断变化”的状态里。我做的是一个极其危险的工作，用「中国大学生」这样一个简单的标签，划归了全部的个体。我觉得我的目标是提供一个极其简单、粗糙但是通俗的形而上学模型。术语的粗糙解释捕获：原本在社会中流动的东西，被某种结构截住、编码、计量，并纳入一个可以持续利用和控制的体系。捕获让某种流动变得可识别、可计量。机器：一套持续运作的连接方式：人、制度、规则、考试、学校、家庭、企业、平台、数字等连接起来以后，就会形成某种稳定的运行逻辑。逃逸线：逃逸线使一个既有结构开始失效、松动，并向新的关系和可能性打开的方向。童年：升学机器儿童的欲望是非常流动的，比如，一个孩子可能今天喜欢在草地里观察昆虫，明天就吵着闹着要看星星，后天又开始看恐龙相关的话本，这就是欲望最原始的、生产性的作用。欲望不断把人和新的事物、身体、概念、活动连接起来，由此生产新的关系和体验。对于孩子来说，意义不是很重要的东西，他们沉浸在一种「连接（接触新事物） - 生产（有自己的感受） - 中断（不那么感兴趣了） - 再连接（接触新事物）」的一个循环中。儿童时期的连接往往很分散：昆虫、恐龙、游戏、朋友、故事、绘画、运动都可能暂时成为欲望投资的对象。这些欲望后来被「社会」从外部压制，被重新组织到一套以升学为中心的关系中。在高度升学导向的环境中，中国式教育通常会对中国孩子做一次粗暴的、大规模的结域，也就是把本该流动的东西固化下来。中国学校通常不会让学生自由的发展，而是规定很多固定的科目，把儿童变成「学生」这一身份，其任务就是「学习」。结域不是坏事，一个固定的身份会让人产生身份认同、自我同一性，问题不在结域上，而在于其他连接方式不断被压缩、原有的一些行为被这台机器捕获，变成能够比较的数字。运动这个行为，被升学机器捕获，变成了「体育课的分数」，服务于升学；知识被升学机器捕获，变成了「考试的分数」。中国式教育最吊诡的部分就在这里，它能将很多看似无害的东西捕获为自身的一部分。而这样的捕获，则不断倒逼家长们，在孩子入学前就开始报各种补习班，可以看出来——孩子们自打一出生起，就是升学机器的一部分了。在德勒兹那里，人类认识世界是依靠习惯的，在《差异与重复》中有一个很有趣的例子，一个序列「ABABABABABA」，你会很自然地预判下一个字母是B，这便是习惯的作用。在升学机器中待久了，抑或压根没有走出过升学机器，孩子们就会把行为，自然而然的看作可比较的东西。到这里，就不再有「我想做什么」了，只有「我应当做什么」了。一旦知识、运动、表现被转换成数字，原本异质的东西就获得了一种可比较性。而当这种可比较性与有限名额、排名和升学制度连接起来以后，数字便进一步成为排序工具，就变成了「提高一分，打倒千人」。升学机器最厉害的地方不是禁止你做某件事，而是重新定义为什么做这件事。这便是齐泽克的「后现代的父亲」的例子了。升学机器的确很残忍，让孩子失去了自由，甚至，失去了自由思考的能力，但是它的好处在于——确定了一个轨道，你只要沿着轨道走，基本上不会很迷茫。到这里，读者或许能意识到，结域不一定是坏事，解域也不一定是好事。大学：突发解域大学时期，孩子们突然就获得了一种自由，当然，这种自由在我看来仍然是很微妙的，它的自由如同资本主义机器那样，时刻解域，但又没办法完全彻底解域。1举个例子，一个大学生可以在考研、考公、留学、实习、退学创业、直博之间任意地选择，这些选择要比中学阶段自由得多，因为你不必沿着一个固定的轨道上升了，但是，这些自由也不是完全的自由，它们都是立足于学校的一部分，可以选择不同的路线，但这些路线都代表着轨道。在大学，过去那个稳定的问题「下一次考试考什么内容？」，变成了不那么稳定的问题「我要走哪条路？」，前一个问题是执行的问题，不需要选择，是被动的，而后一个问题是选择的问题，是主动的。而这对于中学阶段的孩子们是极其痛苦的，不再有特别明确具体的统计数字，只要求你选择。这便是解域带来的痛苦，过去的升学机器的影子不在了，但是，我面临的问题却更复杂了。…

【杂谈】差异、重复与作为机器的“美丽”世界
type: item
date: 2026-08-14T02:23:00+00:00
description: 这个标题的确太长了，我想了很久，但是没法想到一个比这个还好的标题了。不过好在，文章也挺他妈长。我写过的最长的文章了。我觉得我一直需要出一个专门讲德勒兹的文章，但是我之前一直有不懂的地方，到如今，我感觉对德勒兹有了相对深刻的理解。我用德勒兹的方法尝试分析问题，取得了不错的成果。我想，既然有效，姑且可以讲一讲了。实际上，这一篇想要说明的内容，正是【实验性写作/纪念第99篇】空中楼阁要阐述的内容，但是为了有趣，我用了一种近乎疯狂和精神病的方式写了那篇文章，读起来的确很有趣，但是很难懂。我需要声明，这一篇的内容，当然不是德勒兹本人的想法，会有些许偏差，但是对我来说，这是分析问题比较好用的一种框架。先于存在的差异通常我们理解差异，是依靠「A和B的不同」理解的，也就是：$$ A=A,B=B\Rightarrow A\neq B $$我们会先设定两个存在之物，记作$A$和$B$，随后找这两个东西之间的不同之处。比如，有一个凳子和一个桌子，凳子比较矮，桌子比较高，……。再比如，一个苹果和一个梨子不同，一个男人和一个女人不同……这样我们就自然而然引出了差异的概念。这很自然，太自然了，我们生来就是这样看待事物的，也就是——同一性先于差异。先有了存在之物，才有差异。但是德勒兹阐述了一种很有趣的观点：所谓存在，不过是差异的效果而已。也就是，差异先于同一性。不是先有固定的存在物，而是大量差异性的过程暂时稳定下来，才出现了我们称作「存在物」的东西。比如，我们回想，我是一个固定的我，然后我经历各种变化。但是，在德勒兹的观点下，则变成生理过程、记忆、欲望、社会关系、语言、习惯、职业、身体状态……这些差异不断交织，暂时形成一个相对稳定的“我”。各种差异关系形成的暂时稳定性，形成了我们口中的「存在物」。在《差异与重复》中，德勒兹说明了这两种方法之间的区别。传统哲学往往从已经确定的存在物出发（同一性优先），再去描述存在物之间的差异。因此，在这种思维方式中，差异始终是某些东西之间的差异。德勒兹想问的却是：差异如何产生出两个东西？也就是不是已经形成的东西之间的差异，而是使东西得以形成的差异（差异优先）。叽里咕噜说什么呢？举个例子！一个很直观的例子是胚胎发育。受精卵并不是一开始就包含一个缩小版的成年人，然后单纯把它放大。最初的细胞会不断分裂，但在分裂过程中，不同位置的细胞逐渐接受不同的信号，形成不同的浓度梯度、不同的基因表达和不同的发展方向。正是在这种不断发生的差异化中，某些细胞成为神经，某些成为肌肉，某些成为皮肤。一个原本尚未完全分化的系统不断产生差异，最后才形成了这些相对稳定的身份。所以，我们要对表象保持警惕。因为表象可以简单理解为：我们总是试图把一个东西识别为“某一种东西”。看到一个陌生的动物，我们会问它像什么；看到一种新的思想，我们会问它属于哪个流派；看到一个陌生的人，我们也会迅速把他归入某些已经熟悉的类别。这就是问题！我们已经产生了一个错觉：世界首先由一个个具有固定身份的东西构成，而差异只是这些东西之间偶尔出现的不同。德勒兹认为，事情可能恰恰相反。我们看到的东西，只是其中某些差异暂时稳定下来的结果。一座山看起来极其稳定，但它仍然处在板块运动、风化、侵蚀、温度变化和生态变化之中；一个物种看起来具有明确的身份，但所谓物种也是遗传差异、选择压力、繁殖隔离与漫长演化暂时稳定下来的结果；一个人看起来是同一个人，但身体、欲望、关系、记忆、语言和社会位置始终在改变。没有什么是不变的。没听懂？我们来考虑另一个东西。重复。生成差异的重复差异先于同一性？哈哈，我可是看见世界上存在大量的重复，这又怎么解释？太阳升起、四季轮转……这看起来就是同一个东西再次出现：$$ A,A,A,A,\cdots $$在这种理解中，重复其实完全建立在「同一性」之上。但是，我们知道，世界中并不存在一个绝对不变的$A$，那么究竟是什么东西在重复？举个例子，假设你每天早上八点沿着同一条路去学校。从抽象意义上说，这当然是一种重复，都是去上学，但仔细观察，每一次其实都不同——天气、心态、遇见的路人、……。而所谓「重复」，实际上是我们从大量不同的事件中抽取出一个共同结构，再把它们归入同一个名字。真正发生的，其实永远是新的事件。德勒兹在这里区分了一般性（generality）与重复（repetition）。如果有两个一模一样的杯子，我们通常会觉得其中一个完全可以替代另外一个。$$ Cup_1\approx Cup_2 $$它们属于同一种商品，同一种型号，同一个类别。这是一种「一般性」，也就是这个东西可以被另一个同类的东西替代。但真正的重复往往恰恰发生在不可替代之物上。比如，一个人纪念某个已经去世的人。他可能每年都来到同一个地方，但每一年的纪念绝对不能彼此替代。第二年的纪念不是第一年的另一个副本，第三年的纪念也不能替…

【Rethink Math】矩阵论的几何理解：Schur补
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date: 2026-08-07T12:28:00+00:00
description: 对于这样一个方程：$$ Ax+By=a\\ Cx+Dy=b $$消去$x$，可以得到：$$ (D-CA^{-1}B)y = b-CA^{-1}a $$如果说有一个矩阵：$$ M=\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} $$那么$A$在$M$中的Schur补，就是$S_A=D-CA^{-1}B$。同样，$D$在$M$中的Schur补，就是$S_D=A-BD^{-1}C$那么这个东西有一个名字，肯定说明它很重要，从几何角度怎么理解之？就来探讨探讨。我们现在掌握的东西是——Schur补这个东西和消元有着密切的联系。它的含义是：消除两组坐标之间的耦合以后，留在其中一组坐标上的几何。投影角度假设我们有一个二次型：$$ q(x,y)=ax^2+2bxy+dy^2=C $$假设它是正定的，那么它就可以描述一个椭圆。这里$C$是一个常数，设一个定值便于我们研究图形。比如$b=0$的时候，很显然就是一个椭圆，当$b\neq 0$的时候，假设形状还是一个椭圆，那么就说明$x$方向和$y$方向出现了互相的影响。假设我们的图形是$a=0.6,b=1,d=4,C=5$，那么图像就是：那么我们到这里就要抛出一个和消元很类似的问题：我们想知道这个椭圆在$x$方向能够延伸多远。通过图像可以看出来，这个点在$(-4, -3.5)$，这个区间上。可能有读者就会说了，那直接令$y=0$不就行了？得到$ax^2=C$。那么它的图像是：发现两条线是在-3这个值的右边，并不是我们能延伸最远的地方，这就是因为，我们实际上得到的是椭圆与$x$轴相交的部分，也就是一个截面。我们要的是投影。也就是说，我们现在只是沿着$x$轴给椭圆剖成了两部分，没有得到延伸最远的点。我们要的是投影，可以联想我们从y轴上方打一束平行光，要看x轴上的影子最远能到哪里，对于这些点，我们不一定就要$y=0$。我们可以把整个形状做一个变换：$$ \begin{aligned} q(x,y) &= dy^2+2bxy+ax^2\\ &= d\left(y+\frac{b}{d}x\right)^2 + \left(a-\frac{b^2}{d}\right)x^2. \end{aligned} $$固定$x$，$y$就可以随便变化，达到最远的$x$，前一项恒非负，那么$y=-\frac{b}{d}x$。这个时候，最远距离实际上是：$$ x_{max}=\sqrt{\frac{Cd}{ad-b^2}}=\sqrt{\frac{C}{a-\frac{b^2}{d}}} $$画在图里就是：这些都是中学数学的小把戏，不过我们需要看看，为什么会这样——延伸最远的距离，要比$x=0$截面的结果要远。$y=0$实际上相当于直接不考虑$y$带来的影响，但是实际上，由于两个方向是耦合的，是彼此影响的。$y$方向的变化仍然在幕后活动，只是我们最终只关心它对$x$产生的结果。这和我们的消元一致，我们消去了$x$，但是$x$对$y$还有影响，不能忽略。这个影响就是我们的$-\frac{b^2}{d}$。实际上这就对应着我们的Schur补，二次型的矩阵是：$$ M=\begin{bmatrix} a & b\\ b & d \end{bmatrix} $$那么，消元之后，$x$的分量（$a$的Schur补）就是$a-\frac{b^2}{d}$，这恰好就是我们上面对于Schur补的定义。推广一点，考虑椭球：$$ q(x,y)\leq 1. $$里面的$x,y$都是向量，那么令$y=0$，得到的是：$$ x^TAx\leq1. $$它描述了原椭球与$y=0$的截面。描述的是直接切开原几何体以后看到的形状。但是，如果我们将整个椭球投影到$x$空间，那么一个$x$属于投影，当且仅当存在某个$y$，使得$$ q(x,y)\leq1. $$这等价于$$ \min_y q(x,y)\leq1. $$于是得到$$ x^T \left( A-BD^{-1}B^T \right)x \leq1. $$也就是说Schur补描述的是投影后的有效几何。解耦角度从矩阵角度看来，我们可以把二次型进行变换：$$ \begin{aligned} q(x,y) ={}& \left( y+D^{-1}B^Tx \right)^T D \left( y+D^{-1}B^Tx \right) \\ &+ x^T \left( A-BD^{-1}B^T \right)x. \end{aligned} $$这个矩阵就是：$$ M=\begin{bmatrix} A & B\\ B^T & D \end{bmatrix} $$记$S=A-BD^{-1}B^T$，我去，这就是：$$ q(x,y')=y'^TDy'+x^TSx $…

【纪念第一百篇】我与我周旋久，宁作我
type: item
date: 2026-08-05T04:14:00+00:00
description: 引子最开始开站就是2016年，到今年也算是十年了。不过，这个过程中我偶尔会把内容全删掉，然后重新建站重写，然后再删掉……这对我而言像是一种「蜕壳」，文章多到一定程度，就觉得自己写得太垃圾了，于是把过去的作品全部删掉，从零开始。2016年，多美好啊，我好像刚上初中。随着不停地「蜕壳」，我感觉自己也在不断地成长。我最开始的blog，都是小说、日记和一些意识流的写作（如同我在上一篇blog中的写作风格），现在更多是数学、技术和其他类型的内容。这一方面是因为我没有能力写这些比较文艺的文章了，更多的是因为我需要面对来自现实的压力，我需要考虑为自己谋生了。这一篇，我其实也没想好要写什么。而这是一直以来我最擅长的写法——意识流，也就是想到哪里写到哪里。姑且当作一个自我介绍、自我总结吧。技术说实话，我感觉我不是一个很「理工」的人，我对技术的看法是——「工具」，但我感觉很「理工」的人对技术都有自己的品位。对我而言，产品与功能是最重要的，具体的技术不过是创造产品与功能的工具而已。这一点算是大学教育给我的最重要的启示。过去我也很喜欢参与对编程语言踩一捧一——「C++就是一种狗屎语言，Python就是好语言」、「要性能就只能用C，不要用Java，你这傻鸟」……现在看来还是太偏激了。除了Side Projects，基本上是领导让我用什么我就用什么，当然，为了写Paper，我主要还是用Python。在我看来，写Paper是最像做项目的，它比Side Project（也就是日常、业余时间写的一些小项目）更像做项目。很多时候，个人的日常项目不是面向用户的，而是自嗨、面向其他程序员的，有功能、少数人用得方便即可。写Paper则不同，不仅需要面对Reviewer——他们很可能来自完全不相关的领域——还要写Paper，告诉别人「我这是一个好的想法，我劝你老老实实给我接收」，而且还要有一点意义。不仅要写代码，有足够的功能，还要讲故事，包装起来，说服别人，让别人知道工作的创新性与必要性。写论文本身就是一种故事会，像是写侦探小说，写论文的重点是如何抓住读者的兴趣，这一点我觉得无可厚非——毕竟芝加哥大学的写作课也讲了一样的事情。过去的十年，有什么对我技术水平影响最大的事情？我想，有两个——一是长时间只用Linux系统的设备，二是进组做科研。前者让我学到了很多技术，在Linux上，不仅要配置各种文件，还要解决不同软件之间的冲突、定位奇奇怪怪的bug。除此之外，Linux系统的编程体验也非常好，它让我精进了我的算法和数据结构的能力。使用Linux的那段时间，是我Daily Programming的项目最多的时期，真是美好的日子啊。进组做科研则让我从一个技术导向的人，变成了一个需求导向的、交流导向的人——尽管我现在做得还不够。哦，数学。对于我这个行当来说，数学尤其重要。不过很遗憾，我大学的数学课学得不是很好。不过我最近在重新学习它们，都放在了我的Rethink Math系列中，还挺有意思的，不过要自己探索理解方法，教科书上的理解方法感觉很难——尤其是线性代数。文史哲说实话，我感觉我不是一个很「理工」的人。又说了一遍同样的话，嘿嘿。如果给我一周的时间，让我自由选择去干什么，那么我不会犹豫——给我几本小说、哲学书或者历史书，让我去读，或者给几个文科的网课，学学看喽。去写Side-Project？不好意思，没什么太强的吸引力。虽然我很喜欢编程，但是远没有读书来的快乐。我感觉我有种文青病——我经常会幻想我是一个富家少爷，每天啥也不干，就读书喝茶下下棋溜溜弯。这也是我最喜欢的生活。不过，我不是「富」家「少」爷。我觉得隐居的生活还挺爽的，自己种点菜，悠游度日。我这人有个习惯，就是我的效率和任务量没关系，但是和压力有强关系，如果活很多，但压力不大，我可以很快很好地给你完成，但是如果活很少，压力巨大，那我可能一年都没有办法给它们做完。有点跑题了。文史哲分为三类——文学、历史和哲学，很显然。文学这一块，我很喜欢日本人的作品，他们很会描写人物的心理，而且和中国的文化又很贴近。中国地大物博人又多，中国文化更加大开大合，对我来说更加豪放一些，利落大方一些。而日本我觉得很有意思，虽然受中国文化的强影响，但是地方小人少，还有天灾，日本人感觉更加「小家子气」，这不是贬义，就是一种性格上的倾向。日本文化感觉更加婉约，伤春悲秋。物哀就很像日本人能搞出来的玩意，但是物哀又太难受了，所以搞出来一个侘寂。然而，对我而言，豪放没法很打动我，但是物哀这种可以——因为我们都经历过：「明天要开学，今天夕阳已落山，旧日何处寻」（最难受）。豪放……我觉得我的学生年代没什么很豪放的事，都是物哀。除此之外，日本也受到了西方文化的强烈冲击，在某种程度上，我觉得日本达成了一种1+1>2的效果，通过结合西方文化和中国文化，形成了自己的一种…

【实验性写作/纪念第99篇】空中楼阁
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date: 2026-07-30T07:17:00+00:00
description: 引子机器，机器人，太机器了。连接论不是人与人之间的连接，也不是人与系统的连接，而是系统与系统之间的连接。作为三个综合的产物，我们是活在过去、现在和未来的生物。连接，初看是过去与过去的连接，然而并不是，因为过去、现在和未来是不可分割的三个部分。过去的事物被压缩成习惯，我们通过习惯建构未来。从这个角度来说，人是没有主体性的，人是一个时序模型，根据过去预测未来。思想天然不爱真理，而爱习惯，只有意想不到的事发生，才会思考——这样的事情对当前的模型造成了一种暴力，这种暴力促使人去思想。那么连接究竟是什么？连接是两个无穷之间的连接，是两个微分之物的连接，是两个超平面的连接——一个二维平面上有无限多个点。连接是无穷+无穷=无穷的一种表现形式，但是后面的无穷和前面的无穷是一样的，又是不一样的。人们倾向于预先设定一个同一之物，然后思考差别——亚里士多德式的属差与种差，但是这终究不是穷尽分析的一个办法。只有把人设置成无穷，才能解释变化，才能解释在同一之物假设下难以解决的问题。问题！问题即是理念本身。问题的答案在问题中存在着，至少其结构是被问题所影响的，在这个尺度上，问一个好问题比解决问题更加重要。回到连接，什么是连接？连接本身就是不用解释的概念，它不是非-解释的概念，而是前-解释的概念。在连接中，我们发现了一种暴力，对于双方的暴力，这种暴力如此强大，其迫使人去思想——这便是交流的重要性。交流是两个系统之间的连接，而系统是蕴含无限微分之物的系统——不是系统本身包含着无穷之物，而是其包含着无穷之物，却被我们视作了「一」，其实它不是一，而是无穷，任何事物都是无穷。系统的构造方法是不一样的，我们可以用如此通俗的角度，用这样一种方法去说：我们好似在分开的房间里搭积木，只有聚在一起，才能知道自己的积木有什么不足。这便是连接的意义。所以，从这个角度来讲，「人与人彼此相连」，更像是一种精神分裂的角度了。但是，我们在这里要问这样一个问题——只有实际接触才能连接吗？在这里我们突然发现了一种极其复杂的拓扑结构，每个人不是「一」，而是「一加上无限多个极小值」，为什么是极小值？如果把事件看作一个微小的点，而生命看作一条数轴，那么很明显，这个点对于数轴是个极小值，但也是不可或缺之物。事件中的参与者，是无穷之物，也就是说，在事件中，尽管它是一个微小的点，是一个极小值，但这个极小值中却又加入了无限。连接通过事件展开。事件以人为载体。那么，不仅人与人彼此相连，这种相连还具有一种以「无穷-极小值-无穷」为媒介的传递性。也就是说，只要一个人和另一个人相连，那么他就和无限多个人相连了，而且他不仅和无限多个人相连，也和大自然本身连接着。科幻故事窗户外面下着大雨，街道上空无一人，我隐隐约约能看到对面的楼里，有几家亮着光，但我终究不敢确定。我坐在窗户前，翻着这本书，这本书我已经看了无数次了，有意思的是，这本书的内容似乎在自行扩充，我记得这本书原来是个小册子，现在快变成字典那么厚了。当我在翻阅这本书的时候，我发现，每一页内都写着密密麻麻的字，有些字我完全认不得，像是汉字，又像是俄语字母；有些字却又写得极其工整。每一个字下面好像又都盖着一个字，但我却又能看清楚最上层的字。有些页的纸很厚，像是极其粗糙的纤维制作的；有些页的纸很薄，像是用糖纸、蝉翼做成的，每一页没有标记页码。我看不出这些字的关系来，但它们似乎都有同样的格式，都是用黑笔写成的。正在这时，我的屋子停电了，一片漆黑。从窗户透过来一点雨天傍晚幽蓝色的光。对面的楼却灯火通明。我打开窗户，小雨滴和泥土味的风。对面的一家住户也打开了窗户，向我招手。我也招了招手。来电了，我又开始看起书来。我突然发现自己能读懂很多字了。存在论连接对于我们来说是一种暴力。没有人喜欢和别人社交，这里的喜欢，不是「意愿」，而是「倾向」。社交对我们来说是意料之外的事情。在连接中，我们会发现差异，发现符号-结果的对应关系，发现过去我们的不足，发现……发现发现本身。连接会回溯性建构我们的记忆、性格和处事态度。那么，究竟是哪里的缺失，让我们需要用连接来重塑我们自己呢？那便是「难以认得的字」本身，哪怕这些字是我们自己写上去的。与其说我们活得很明白，不如说我们始终活在隐喻里。不是「我思故我在」，而是某种基底性的东西首先形成了我——其实没有形成，只是一种效果、一种表象——而我再去思考，不是「我思故我在」，也不是「我在故我思」，而是「我不在故我思」。如果我真真切切的存在了，那我根本不用去思考，如果我去思考，那么必然是某种暴力促使我去思考，在这个程度上，我又不在了。在与不在其实不是重点，而是。我所是，不在我里面，而在不是我的里面。不是我，不是其他人，而是那作为基底的幽暗深渊本身。那深渊不是别的，正是差异本身。我在深渊里沐浴，在深渊里生活，在深渊里仰望天空——那天空的深处依然是深渊。恐怖故事…

【Rethink Math】矩阵论的几何理解：一口气把转置讲清楚
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date: 2026-07-26T14:07:00+00:00
description: 最近我躺在床上，翻来覆去想，「这转置到底是什么个含义？利用等值线解释，总感觉差一点东西。」这两天有了一个比较粗糙的想法，「等值线的确是个很取巧、很粗糙的理解方式，感觉有一种更加有趣深入的理解方式！」，这次就来和诸君交流一下。核心思想是——转置的核心性质是$$ \langle Ax,y\rangle=\langle x,A^Ty\rangle. $$这个公式表示，同一个标量测量既可以理解为先用 $A$ 变换输入 $x$，再用 $y$ 测量结果；也可以理解为先用 $A^T$ 将测量规则 $y$ 拉回输入空间，再直接测量 $x$。因此，转置保持的不是向量本身，而是向量与测量规则之间的配对结果。二十年重过南楼：矩阵乘法的两种理解方式考虑矩阵$A$：$$ A= \begin{bmatrix} 2&1\\ -1&3 \end{bmatrix} $$和向量$x$：$$ x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} $$二者相乘得到：$$ Ax = \begin{bmatrix} 2x_1+x_2\\ -x_1+3x_2 \end{bmatrix} $$我们通常会从列向量的角度看待矩阵的乘法——矩阵的列向量负责生成输出。输入向量中的第一个坐标$x_1$，控制第一列的权重；第二个坐标$x_2$，控制第二列的权重。最终的输出，是矩阵各列的线性组合。也就是：$$ Ax= x_1 \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} $$这太自然了，从行角度来理解就不是很自然，我们把矩阵写作行的形式：$$ A= \begin{bmatrix} r_1\\ r_2 \end{bmatrix} $$其中：$$ r_1= \begin{bmatrix} 2&1 \end{bmatrix}, \qquad r_2= \begin{bmatrix} -1&3 \end{bmatrix} $$那么就有：$$ Ax= \begin{bmatrix} r_1x\\ r_2x \end{bmatrix} $$从这个角度看，矩阵的每一行都在对输入向量进行一次测量。第一行读取出输出向量的第一个坐标，第二行读取出输出向量的第二个坐标。这恰恰就是我之前写的文章的结论——行向量在输入空间里，负责测量输入；列向量在输出空间里，负责生成输出。什么是测量呢？我们来好好说说考虑函数：$$ f(x_1,x_2)=2x_1+x_2 $$这个函数看起来没什么特别的，接收一个二维向量，输出一个实数，比如对于一个向量：$$ x^*=\begin{bmatrix} 8\\ 9 \end{bmatrix} $$就能得到：$$ f(x^*_1,x^*_2)=25 $$这个函数特别像我们第一部分说的$r_1x$和$r_2x$，它们并没有把一个向量变成另一个向量，而是从向量中读取出一个数值。而且，矩阵中的这样的行向量的形式，满足线性性质，也就是：$$ f(u+v)=f(u)+f(v) $$以及：$$ f(\lambda u)=\lambda f(u) $$那么很显然，$f$是一个从向量空间到标量域的线性映射。如果把普通向量理解成空间中的箭头，那么协向量可以理解成一把对向量进行测量的尺子。也就是对于给定的向量，我有这样一种测量方式——矩阵的行向量所声明的测量方式——能够给出一个什么样的标量值。这种测量方式在二维平面上，就是等值线，一条条等值线，线的位置和取值有关。向量在空间中移动时：如果沿着等值线移动，测量值不变；如果跨越等值线，测量值发生变化；跨越的刻度越多，测量值变化越大。到这里，我们其实还没有引入任何新的东西，这些东西在我之前的专栏文章中已经说过了。柳下系船犹未稳：测量一定只有一种吗？我们给出了一种测量的方法，这种方法是由矩阵的行向量决定的，每一个行向量决定了一种测量的方法，但是，测量方法貌似不只有这一种，我们可以把所有从向量空间$\mathbb V$到实数域$\mathbb R$的映射，都看作一种测量方法。我们于是得到了一种新的集合：$$ \{f:\mathbb V\to\mathbb R\mid f\text{ 是线性的}\ \} $$这个集合实际上也构成一个向量空间，因为每个元素都满足我们上面提到的线性性质，也就是说，每一个$f$都可以看作一个小向量。这个空间，我们一般称作向量空间$\mathbb V$的对偶空间，我们记作$\mathbb V^*$。我们偶然发现了看待坐标的一个新角度，设$\mathbb V$有一组基：$$ e_1,e_2,\dots,e_n. $$任何向量都能写成：$$ v=x_1e_1+x_2e_2+\cdots+x_ne_n. $$定…

【Rethink Math】矩阵论的几何理解：二次型
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date: 2026-07-25T02:34:00+00:00
description: 我之前以为我好像cover掉了所有的内容，翻翻课本，发现落下了一些东西。不知道读者的体验如何，当笔者学习线性代数的时候，最困扰的地方有两个：转置的几何意义——我需要声明的是，直到现在，哪怕我写了一章有关于转置的几何意义，我还是没有办法完全理解它，我后面可能会写一篇专门讲转置的文章。二次型。在我看来，二次型是矩阵论中，将几何与代数连接起来的东西，是一个桥梁，但是怎么连接的，我却难以说出个所以然来。这次就来探讨一下。本文首先只讨论正定二次型，因为它最容易通过几何理解。从圆与椭圆开始……Takeaway:二次型指定了一种距离的衡量方式。二次型是什么？其定义很简单，是关于一些变量的二次齐次多项式，比如：$$ Q_1(x,y)=4x^2+3xy+2y^2 $$就是一个二次型。很显然，对于两个变量而言，一个最基础的二次型是：$$ Q_2(x,y)=x^2+y^2 $$我们都知道——这是一个圆。如果给这个二次型设定一个值，比如$Q_2(x,y)=1$，那么它在标准直角坐标系xOy上花了一条线，这条线上的点就是所有从原点出发，长度/距离为1的点所形成的一条线。为什么它是一个圆？这个问题听起来很蠢，但是却和我们后面要讲的东西息息相关，其原因是——这个二次型指定了一种距离的衡量方式，它在所有方向上的尺度都一致。我们改一下这个二次型：$$ Q_3(x,y)=4x^2+y^2 $$这是一个什么形状？当$Q_3(x,y)=1$时，我们很容易发现——这是一个椭圆，而且是一个y轴长，x轴短的一个椭圆，为什么？这里我们指定了另一种距离的衡量方式——x轴移动的代价变高了。……到交叉项的迷思……Takeaway:交叉项不一定表示二次型本身很复杂，而很可能表示我们的观察方向不是最自然的方向。当然，二次型不仅仅只有上面的形式，还有这样的形式，比如一个二次型：$$ Q_4(x,y)=5x^2+4xy+2y^2 $$这是个什么形状？我们画一下：这是一个倾斜的椭圆。为什么？因为我们没有找到观察这个形状最自然的坐标轴，比如我们的这个椭圆，依靠椭圆的长轴和短轴方向观察最为自然，但是我们现在的观察方向并不是这两个轴，这造成了一定程度的偏移。对于一个圆而言，没有最自然方向这一说，因为每个方向行走，代价都是一样的。而椭圆则不一样，改变了一个方向的代价，那么最好以这个方向为观察方向，沿着其他方向移动，不仅会引入修改方向的分量，也会引入其他方向的分量，这就是交叉项的成因。为什么？我们从代数上解释一下。假设在它自己的主轴坐标 $(u,v)$ 中，二次型很简单：$$ Q=\lambda_1u^2+\lambda_2v^2. $$这里没有交叉项，因为 $u,v$ 正好沿着椭圆的长轴和短轴。现在假设主轴相对于 $x,y$ 坐标轴旋转了角度 $\theta$。那么：$$ u=x\cos\theta+y\sin\theta, $$注意，$u$ 已经不只是 $x$，而是 $x,y$ 的混合；$v$ 也是如此。代回二次型：$$ Q= \lambda_1(x\cos\theta+y\sin\theta)^2 +\lambda_2(-x\sin\theta+y\cos\theta)^2. $$展开第一项：$$ (x\cos\theta+y\sin\theta)^2 = x^2\cos^2\theta +2xy\sin\theta\cos\theta +y^2\sin^2\theta. $$展开第二项：$$ (-x\sin\theta+y\cos\theta)^2 = x^2\sin^2\theta -2xy\sin\theta\cos\theta +y^2\cos^2\theta. $$合起来：$$ Q= (\lambda_1\cos^2\theta+\lambda_2\sin^2\theta)x^2 $$所以交叉项的系数是：$$ 2(\lambda_1-\lambda_2)\sin\theta\cos\theta = (\lambda_1-\lambda_2)\sin 2\theta. $$……再到矩阵这家伙的登场……Takeaway:二次型矩阵的目的就是告诉你，每两个方向之间应该如何做测量。二次型所对应矩阵的特征向量方向，就是最自然的观测方向。「嘿，你这家伙，我明白了，矩阵这个东西不就是在一定程度上，形容方向的吗？」没错！我们发现，对一个二次型所示形状的观察，需要找到最自然的方向，那么我们可以先把观测方向变一下，然后再观察，岂不自然很多。这听起来就很像矩阵要干的事情！我们通过之前的论述知道，二次型其实指定了一种距离的测量方式，那么我们先来考虑，一个向量的距离该怎么衡量？是范数。而且我们最常用的范数是2-范数：$$ ||x||_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} $$两边…

【Rethink Math】矩阵论的几何理解：广义逆矩阵
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date: 2026-07-12T07:39:00+00:00
description: 呃啊！好难写！至于字母混乱，您多担待。通过之前的论述，我们知道，一个矩阵的逆矩阵就是一个线性变换的逆变换。比如一个向量$x$，经过矩阵$A$所表示的线性变换，变成$Ax$，那么再经过$A^{-1}$，就又变回了$x$。若方阵$A$可逆，那么$A^{-1}$表示与$A$相反的线性变换。向量$x$经过$A$变成$Ax$后，再经过$A^{-1}$，就能恢复为原向量：$$ A^{-1}(Ax)=x. $$同样，对任意输出向量$b$，都有$$ A(A^{-1}b)=b. $$在应用中，我们通常会求解$Ax=b$这种方程组，那么逆矩阵就相当于做了这样一件事，给定了一个线性变换$A$和变换后的向量$b$，我们要找到变换之前的向量$x$，那么一个矩阵如果没有逆矩阵，找到这个$x$就很难，我们需要想一些办法。原向量有哪几种情况？Takeaway:没有逆矩阵，那么目标向量，要么对应无穷多个原向量，1个原向量，要么对应0个原向量。为什么会没有逆矩阵？很显然，因为矩阵把很多方向压到了零向量，这样就相当于把一些维度的信息压没了，就导致没有办法逆过来运算。那么这个时候，对于不同的$b$，$x$有哪几种情况？其实只有两种情况——要么有无穷多个原向量，要么压根找不到一个合理的原向量。一个$b$对应无穷多个$x$，是由压没维度导致的。例如：$$ A= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}. $$那么$$ A \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\0 \end{pmatrix}. $$对于$$ b= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, $$有无穷多个解：$$ x= \begin{pmatrix} 1\\t \end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb R. $$因为第二个方向被完全压没了，而一个方向上有无穷多个向量，那么很显然，原向量就有无穷多个。一个$b$没有对应的$x$，还是上面的矩阵：$$ A \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\0 \end{pmatrix}. $$它只能产生第二个分量为0的向量。所以，对于$$ b= \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}, $$方程$$ Ax=b $$根本无解。各种广义逆就是用不同的方法处理这两个问题。1-逆：如果$b$确实来自某个$x$，那就从多个原像中选一个。MP逆：若有多个解，就选长度最小的；若没有精确解，就找最接近的解。Drazin逆：它把线性变换分成可逆的长期部分和最终消失的幂零部分，只反转可逆部分。1-逆Takeaway:如果一个向量确实对应一个或多个原向量，1-逆就负责找出来，或者随便找一个。如果难以处理，不妨试试把矩阵简化，然后再另行处理。1-逆，通常记作$A^{(1)}$，要满足：$$ AA^{(1)}A=A $$也就是，如果$$ b=Ax, $$那么$$ A A^{(1)} b=b. $$所以 $A^{(1)}b$ 是方程$$ Ax=b $$的一个解。也就是说，如果一个$b$确实对应一个或多个原向量$x$，就找出来，或者随便找一个。「哎呀你这家伙，这哪有意思啊？那书上不是告诉你怎么算了吗？你这蠢货怎么不讲！」有读者肯定要说啦。哈哈，您别急，且听下一部分分解！1-逆的一个计算方法是这样的，设$A\in \mathbb{R}^{m\times n}_r(r>0)$，且有$S\in \mathbb{R}^{m\times m}_m$和$n$阶置换矩阵$P$，使得：$$ SAP=\begin{bmatrix}\mathbf{I_r} & \mathbf{K}\\ \mathbf{O} & \mathbf{O}\end{bmatrix}=M $$其中，$K\in \mathbb{R}^{r\times (n-r)}$，则对任意$L\in \mathbb{R}^{(n-r)\times (m-r)}$，下面这个是$A$的1-逆：$$ X=P\begin{bmatrix}\mathbf{I_r} & \mathbf{O}\\ \mathbf{O} & \mathbf{L}\end{bmatrix}S=PNS $$这个方法就是，通过初等变换把$A$变化成一个易于处理的形式，然后再考虑构造1-逆。首先，我们来看矩阵$M$，它其实把矩阵$A$拆成了两个部分，左上角是一个$r$阶单位阵，这是因为前$r$个方向是独立、有效的方向，后面的零行表示输出空间中有$m-r$个方向永远无法被$A$产生；$K$表示后面那些列可以由前$r…

【Rethink Math】矩阵论的几何理解：奇异值分解
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date: 2026-07-06T07:42:00+00:00
description: 奇异值分解之所以厉害，之所以常用，是它将变换拆成了旋转-缩放-旋转三个步骤，在缩放的过程中，能够找到对形状改变最大的方向，从而舍弃一些不重要的方向。笔者在这一节会讲一些奇异值分解的应用，如果能给读者带来一点灵感，一点启发，再好不过了。朝花夕拾：酉相似与酉等价Takeaway:酉相似是酉等价一个特例。两个矩阵酉等价，表明一个形状经过两个矩阵的线性变换之后，形状是一样的，只是有了旋转/翻转。在矩阵论的几何理解：矩阵转置与酉相似一文中，我写道：酉相似的定义是，若两个矩阵$A$与$B$酉相似，就相当于存在一个酉矩阵$U$，使得：$$ A=U^*BU $$$U^*$表示$U$的共轭转置，不过我们主要讨论实数域，那么就是正交相似，存在一个正交矩阵$Q$，使得：$$ A=Q^TBQ $$这个就很好理解了，先把矩阵换到一套新的标准正交基上，也就是$Q$变换，然后在这组基下描述线性变换，也就是$B$，随后转到常用的坐标轴下，也就是$Q^T$。那么酉等价——我们讨论实数域情况，也就是正交等价——其实就是对于两个矩阵$A$和$B$，存在两个正交矩阵$Q$和$P$，使得：$$ A=Q^TBP $$其实这个公式的意思也很简单，矩阵$A$代表的变换，相当于我们先选择一组坐标系，也就是$P$变换，然后在这组坐标系下描述一下线性变换，也就是$B$，然后再换到一个坐标系下，也就是$Q^T$。当然这个过程是不改变形状的，比如一个半径为1的圆形，经过$A$和$B$的变换，都会变成同样的形状，比如一个长轴2，短轴0.5的椭圆，二者的差别无非就是旋转的角度不同罢了。那么这样的矩阵关系，就称作酉等价。酉相似是酉等价的一个特例，代表输入输出的坐标系都是同一个，酉等价则是输入和输出可以分别用不同的坐标变换。旧酒新瓶：奇异值分解Takeaway:奇异值分解将变换拆成了旋转-缩放-旋转三个步骤。奇异值分解就是将矩阵$A\in\mathbb{R}^{m\times n}_r(r>0)$，分解为：$$ A=U^T\begin{bmatrix}\Sigma & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}V $$的形式，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是一个对角矩阵。这就相当于把一个变换拆成了旋转-缩放-旋转三个步骤。这里有一个东西叫做奇异值，奇异值就是矩阵$\Sigma$对角的元素，为什么？奇异值是什么，奇异值在书上是这么记的：设矩阵$A\in\mathbb{R}^{m\times n}_r(r>0)$，那么这个矩阵的奇异值就是$A^TA$特征值开根号。为什么？这里可以通过范数的知识来理解，我们要求缩放，就要求矩阵在一些特别方向上的缩放程度，我们通过$V$换了一组基，那么就要在这些方向上考量缩放程度。缩放，就必须是单纯的缩放，不应该掺入旋转，那么很显然，这些方向就是矩阵$A$特征方向……吗？对于这样一个矩阵：$$ \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$它特征值都是1，这表明，有两个方向，变换前后方向不变，缩放倍数是1，但是这不是我们的需求，因为单位圆在这个变换中会被拉成一个很长的椭圆状图形。特征值在这里没有很好地反映“最大拉伸程度”。这里读者一定要区分：特征值关心的是某些方向是否保持方向不变；奇异值关心的是所有方向中真正的长度拉伸。那么，我们的问题就变成了：矩阵在一些方向上对向量缩放了多少倍？落到形式上，就是：$$ N=\frac{||Ax||}{||x||} $$看分子的平方：$$ ||Ax||^2=(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx $$那么很显然，$A^TA$的特征值就是就是伸缩长度的平方，所以开个根号，就变成了伸缩长度。具体问题：最小二乘Takeaway:奇异值分解通过把问题进行拆分，给出了最小二乘解的通用公式。最小二乘问题是什么？其形式是给定$Ax=b$，当方程没有精确解的时候，求一个$x$，让其尽可能接近真实解：$$ x=\min_x||Ax-b||^2 $$最小二乘怎么起作用？假设我们求取了$A$的奇异值分解：$$ A=U\Sigma V^T $$那么最小二乘问题变成：$$ \min_x \|U\Sigma V^Tx-b\|^2 $$因为$U$是正交矩阵，不改变长度，所以可以在范数里面左乘$U^T$：$$ \|U\Sigma V^Tx-b\| = \|\Sigma V^Tx-U^Tb\| $$令：$$ y=V^Tx,\qquad c=U^Tb $$于是问题变成：$$ \min_y \|\Sigma y-c\|^2 $$也就是说，原来复杂的最小二乘问题：$$ \min_x \|Ax-b\|^2 $$被 SVD 变成了：$$ \min_y \|\Sigma y-c\|^2 $$而 $\Sigma$…

【Rethink Math】矩阵论的几何理解：线性方程组与满秩分解
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date: 2026-06-29T14:57:00+00:00
description: 这一节没什么难的，牢记秩的几何意义就可以啦！Hermite标准形 a.k.a. 行最简形Takeaway:行最简形实际上是为了在空间中找一组最简单的基。行最简形，保留了原来的零空间，但把描述这个空间的方程换成最简单的形式。正因为行最简形的作用，也就利于我们求解方程组。行最简形是什么？就是对一个矩阵$A$，如果它的秩是$r$，通常记作$A\in \mathbb{R}^{m\times n}_r(r>0)$那么对它进行初等行变换，使其变成矩阵$H$，使其满足：前$r$行每一行至少一个非零元，且第一个非零元是1，下面全是0。若$H$中第$i$行第一个非零元素1位于第$j_i$列，那么：$j_1<j_2<\cdots<j_r$$H$的$j_1,j_2,\cdots,j_r$列为$I_m$的前$r$列。那么$H$就是$A$的行最简形。举个例子吧，比如一个矩阵的行最简形是$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$它对应的方程是：$$ x_1-x_3=0 $$$$ x_2+2x_3=0 $$所以我们立刻能看出：$$ x_1=x_3,\quad x_2=-2x_3 $$令 $x_3=t$，得到解空间：$$ x=t \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} $$这说明行最简形，把复杂的约束变成了主变量+自由变量的形式。至于这俩东西是什么，我们暂且按下不表。突发新闻：线性方程组Takeaway:求线性方程组的解就是求，经过线性变换后，落到目标向量的所有向量。有读者又要说啦，「你都没讲线性方程组，怎么就扯到了主变量」！好好好，现在讲——「你这蠢货，怎么现在才讲线性方程组！」——没招，行最简形和线性方程组是息息相关的，但是在矩阵论教材里，它的确被安排到了这里。Whatever，首先我们来想一想，线性方程组是什么？很简单，是这个样子：$$ Ax=b $$读过我前几篇blog/知乎文章的读者肯定会说——「嗨！我知道，这无非就是求经过线性变换后，落到目标向量的所有向量嘛！」没错！You are absolutely right!那么我们知道，线性方程组会出现三种情况——无解、唯一解和无穷多解。实际上，这对应着线性变换的三种性质，且听我慢慢道来。如果线性变换前后，没有压缩到零向量的向量，那么根据线性变换的性质，线性变换后的一个向量$b$，只对应着变换前的一个向量$x$。如果读者觉得难以理解，那就想，没有压缩到零向量的向量，那么说明空间只是扭曲了，原来的向量如果不同，那么变换之后的向量也不同——这个可以通过反证法证明。这就是说如果变换前后秩没变，就表明空间没有压缩到零向量的向量，方程组就一个解。如果线性变换前后，有压缩到零向量的向量，那么我们知道，线性变换会把一条线上的向量全压缩到零向量——这就表明，在这些方向上，随意变换，不会影响变换后的位置——这个解就是非齐次的解。但是，在没有压缩到零向量的方向上，是不可以随意变换的——这个解就是一个特解。这就是说如果变换前后有压缩到零向量的向量，方程组在压缩至死的方向上可以随意移动，但是在其他方向上不可以，所以有无穷多解，且解的结构是齐次的解+一个特解。那么无解又是什么情况？如果$b$不在$\text{Col}(A)$里，那显然是无解的，这就是为什么——当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。因为$b$有了一个列空间没有的方向，压根走不到那里。回归主线：主变量与自由变量Takeaway:自由变量的个数确定解空间的维数。为了让自由变量生成的方向仍然留在解空间里，主变量必须配合出来的坐标。值得一提的是，自由变量和主变量之间，不是完全无关的，而是先对自由变量进行一个确定，然后根据自由变量的取值，主变量被限制到一个值上。举个例子。假设一个方程组化简之后变成了：$$ x_1+x_2+x_3=0 $$那我们就可以把它写成：$$ x_1=-x_2-x_3 $$现在问题来了，三个变量里面，谁可以自由选择？显然，$x_2$和$x_3$可以随便给。比如你让：$$ x_2=1,\quad x_3=2 $$那$x_1$就没得选了，它必须是：$$ x_1=-3 $$否则这个点就不在方程规定的空间里了。所以这里的$x_2,x_3$就是自由变量，$x_1$就是主变量。自由变量体现了解空间的维数，对于我们的例子，系数矩阵秩为1，那么就有两个自由变量，这表示解空间的维数就是2，也就是一个平面。读者在这里不要混淆解空间和列空间的概念，解空间实际上就是零空间，所以是自由变量确定了解空间的维数。满秩分解Takeaway:满秩分解的几何含义就是，把一个低秩的线性变换，拆成输入维度->秩维度->输出维度的…