这一节没什么难的，牢记秩的几何意义就可以啦！
Hermite标准形 a.k.a. 行最简形
Takeaway:
行最简形实际上是为了在空间中找一组最简单的基。
行最简形，保留了原来的零空间，但把描述这个空间的方程换成最简单的形式。
正因为行最简形的作用，也就利于我们求解方程组。
行最简形是什么？就是对一个矩阵$A$，如果它的秩是$r$，通常记作$A\in \mathbb{R}^{m\times n}_r(r>0)$那么对它进行初等行变换，使其变成矩阵$H$，使其满足：
- 前$r$行每一行至少一个非零元，且第一个非零元是1，下面全是0。
- 若$H$中第$i$行第一个非零元素1位于第$j_i$列，那么：$j_1<j_2<\cdots<j_r$
- $H$的$j_1,j_2,\cdots,j_r$列为$I_m$的前$r$列。
那么$H$就是$A$的行最简形。
举个例子吧，比如一个矩阵的行最简形是
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
它对应的方程是：
$$ x_1-x_3=0 $$
$$ x_2+2x_3=0 $$
所以我们立刻能看出：
$$ x_1=x_3,\quad x_2=-2x_3 $$
令 $x_3=t$，得到解空间：
$$ x=t \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} $$
这说明行最简形，把复杂的约束变成了主变量+自由变量的形式。至于这俩东西是什么，我们暂且按下不表。
突发新闻：线性方程组
Takeaway:
求线性方程组的解就是求，经过线性变换后，落到目标向量的所有向量。
有读者又要说啦，「你都没讲线性方程组，怎么就扯到了主变量」！好好好，现在讲——「你这蠢货，怎么现在才讲线性方程组！」——没招，行最简形和线性方程组是息息相关的，但是在矩阵论教材里，它的确被安排到了这里。
Whatever，首先我们来想一想，线性方程组是什么？很简单，是这个样子：
$$ Ax=b $$
读过我前几篇blog/知乎文章的读者肯定会说——「嗨！我知道，这无非就是求经过线性变换后，落到目标向量的所有向量嘛！」没错！You are absolutely right!
那么我们知道，线性方程组会出现三种情况——无解、唯一解和无穷多解。实际上，这对应着线性变换的三种性质，且听我慢慢道来。
如果线性变换前后，没有压缩到零向量的向量，那么根据线性变换的性质，线性变换后的一个向量$b$，只对应着变换前的一个向量$x$。如果读者觉得难以理解，那就想，没有压缩到零向量的向量，那么说明空间只是扭曲了，原来的向量如果不同，那么变换之后的向量也不同——这个可以通过反证法证明。这就是说如果变换前后秩没变，就表明空间没有压缩到零向量的向量，方程组就一个解。
如果线性变换前后，有压缩到零向量的向量，那么我们知道，线性变换会把一条线上的向量全压缩到零向量——这就表明，在这些方向上，随意变换，不会影响变换后的位置——这个解就是非齐次的解。但是，在没有压缩到零向量的方向上，是不可以随意变换的——这个解就是一个特解。这就是说如果变换前后有压缩到零向量的向量，方程组在压缩至死的方向上可以随意移动，但是在其他方向上不可以，所以有无穷多解，且解的结构是齐次的解+一个特解。
那么无解又是什么情况？如果$b$不在$\text{Col}(A)$里，那显然是无解的，这就是为什么——当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。因为$b$有了一个列空间没有的方向，压根走不到那里。
回归主线：主变量与自由变量
Takeaway:
自由变量的个数确定解空间的维数。
为了让自由变量生成的方向仍然留在解空间里，主变量必须配合出来的坐标。
值得一提的是，自由变量和主变量之间，不是完全无关的，而是先对自由变量进行一个确定，然后根据自由变量的取值，主变量被限制到一个值上。
举个例子。假设一个方程组化简之后变成了：
$$ x_1+x_2+x_3=0 $$
那我们就可以把它写成：
$$ x_1=-x_2-x_3 $$
现在问题来了，三个变量里面，谁可以自由选择？显然，$x_2$和$x_3$可以随便给。比如你让：
$$ x_2=1,\quad x_3=2 $$
那$x_1$就没得选了，它必须是：
$$ x_1=-3 $$
否则这个点就不在方程规定的空间里了。所以这里的$x_2,x_3$就是自由变量，$x_1$就是主变量。
自由变量体现了解空间的维数，对于我们的例子，系数矩阵秩为1，那么就有两个自由变量，这表示解空间的维数就是2，也就是一个平面。
读者在这里不要混淆解空间和列空间的概念，解空间实际上就是零空间，所以是自由变量确定了解空间的维数。
满秩分解
Takeaway:
满秩分解的几何含义就是，把一个低秩的线性变换，拆成输入维度->秩维度->输出维度的变换。
我们知道，矩阵$A\in\mathbb{R}^{m\times n}_r$表示一个线性变换，是一个从$n$维到$m$维的线性变换，但是当这个矩阵的秩是$r$的时候，是什么情况呢？假设这个$r$小于$n$和$m$，这个时候就表明$A$的输出实际上没办法填满整个输出空间，因为输出空间是$m$维的。变换只能填满这个空间的一个子空间，这个子空间的维度数是$r$。那么这个映射实际上可以拆分为两个，一个映射是从$n$维到$r$维，另外一个映射就是从$r$维到$m$维。用矩阵表示，也就是：
$$ A=F^{m\times r}G^{r\times n} $$
难以理解……我们举个例子！对于下面这个变换：
$$ A=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} $$
在空间上的含义就是把二维空间的向量，变到(0,0)-(5,2)这条直线上，它的满秩分解是：
$$ A=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\ 2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}=FG $$
我们知道变换要从右向左看，那么矩阵$G$表示什么呢？很显然，这个变换就是把二维向量的x轴分量提取出来，这样就完成了核心的降维变换。那么$F$阵的作用就是把提取出来的x轴分量，放到(0,0)-(5,2)这条线上。这其实就是把所有向量的x轴分量提取出来，然后放到一条歪着的数轴上面。
当然，满秩分解也不唯一，比如上面的分解可以写成：
$$ A=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ \frac{2}{5}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}5 & 0\end{bmatrix}=F'G' $$
这个含义就是把二维向量的x轴提取出来，扩大5倍，然后放到(0,0)-(1,2/5)这条直线上。